I. Rachunek zdań (definicje)

Zdanie w sensie logicznym

wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe

Zmienna zdaniowa

jest to takie wyrażenie, za które wolno wstawić dowolne zdanie w sensie logicznym.

Spójniki logiczne

to wyrażenia posiadające tę właściwość, że po dodaniu do nich zdania bądź zdań otrzymuje się nowe zdanie, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdania dołączonego.

Spójnik jednoargumentowy

jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej - w szczególny sposób - przez wartość logiczną zdania dołączonego.

Spójnik dwuargumentowy

jest to takie wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako jego argumentów daje nowe zdanie, którego wartość logiczna jest wyznaczona - w szczególny sposób - przez wartości logiczne zdań dołączonych.

Spójnik n-argumentowy

jest to wyrażenie, które po dołączeniu do niego n zdań jako jego argumentów daje nowe zdanie, którego wartość logiczna jest wyznaczona - w szczególny sposób - przez wartość logiczną zdań dołączonych.

Negacja

jest to zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania. Innymi słowy jest to zdanie zbudowane ze spójnika negacji i jego argumentu.

Zdanie zanegowane

jest to zdanie dołączone do spójnika negacji jako jego argument.

Zdania wzajem sprzeczne

to zdanie zanegowane i powstała z niego negacja

Koniunkcja

jest to zdanie zbudowane ze spójnika koniunkcji oraz jego argumentów(czynników)

Czynniki

zdania dołączone do spójnika koniunkcji jako argumenty

Alternatywa

zdanie zbudowane ze spójnika alternatywy oraz jego argumentów (składników)

Składniki

zdania dołączone do spójnika alternatywy jako argumenty

Implikacja

zdanie zbudowane ze spójnika implikacji oraz jego argumentów (poprzednika i następnika

Poprzednik

pierwsze zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument

Następnik

drugie zdanie dołączone do spójnika implikacji jako argument

Równoważność

zdanie zbudowane ze spójnika równoważności oraz jego argumentów (członów)

Człony

zdania dołączone do spójnika równoważności jako argumenty

Zdanie proste

jest to zdanie, w którym nie występują spójniki

Zdanie złożone

zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik.

Wyrażenia rachunku zdań

1. Każda zmienna zdaniowa jest wrz, 2. Jeżeli sekwencja postaci A jest wrz, to także sekwencja postaci ~(A) jest wrz. 3. Jeżeli sekwencje postaci A oraz B są wrz, to wrz są również sekwencje postaci A^B, AvB, A->B i A⇔ B

Teza rachunku zdań

wyrażenie, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nim zmienne zdaniowe przekształca się w zdanie prawdziwe

Formalizacja rachunku zdań

operacja polegająca na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez, przy czym reguły winny umożliwiać wyprowadzenie z aksjomatów wszystkich i tylko tez rachunku zdań

Aksjomatyzacja

pierwszy etap formalizacji rachunku zdań polegający na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów

(A1) (A2) (A3)

(A1) (p->q)-> [(q->r) -> (p->r)] (A2) (~p->p) -> p (A3) p > (~p->q)

reguła podstawiania

Jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to trz jest również wyrażenie postaci B powstałe z tezy A przez konsekwentne podstawianie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań

reguła odrywania

jeżeli wyrażenie postaci A → B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to także wyrażenie postaci B jest tezą rachunku zdań

Reguła zastępowania

jeżeli wyr. postaciA jest TRZ, to TRZ jest także wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia rachunku zdań innym w na podstawie następujących definicji (D1): C^D df ~(C→~D) (D2) CvD df ~C→D (D3) C<-> D df ~[(C→D)→~(D→C)]

Dowód (ogólna)

D. wyr. W na gruncie aks. tworzących zb. A, w oparciu o reguły tworzące zb. R jest taki ciąg wyr., ze każde wyr. tego ciągu jest albo jednym z aksj.zb. A albo powstaje z wcześniejszych wyr. tego ciągu przez zastosowanie jednej z reguł ze zb. R,